重新認識 PBC

在準備這禮拜的進度報告時，意外發現之前的 Bloch phase 放錯符號之後，今天再仔細看了 Mike 的論文，有關 periodic boundary condition (PBC) 的部分，對 PBC 有了重新的認識。

偉大的 Bloch theorem。這是跟小泥分享我的新領悟時，畫的草圖。

週期性邊界條件，做物理的都會知道這是什麼，是邊界條件的一種。邊界條件是在解電磁問題、波函數問題，求解過程中的必須條件。在固態理論，週期性邊界條件則是在談能帶概念的時候會引入。當我們只對固體的內部性質感興趣的時候，表面的性質並不重要，於是為了求解，我們可以選擇一個方便我們得到答案的邊界條件，於是所謂的週期性邊界條件就進來了，例如，要求函數值在邊界 x=0 跟 x=L 一樣：f(0) = f(L)。但嚴格來說，這是哪門子 PBC，根本只是個數學手段。

所謂固態，指的是完美結晶的固體，指的是週期性排列的原子們，而固態理論的基本重點，就是電子在這樣週期性排列的原子們之間的行為。所以，「週期」在固態裡是一個很基本性質，而週期所伴隨的定理，便是固態裡很基本的概念。電子在週期性重複的電位下，呈現的波函數顯然也必須具有一樣的週期性，所以著名的 Bloch theorem 就是在規範這件事情，這個定理也是固態裡基本必提的概念。

奇怪的是，固態理論更早會提到的數學手段：週期性邊界條件，根本就是個大誤導。就因為這個誤導，使得我們常常看到設 f(0) = f(L) 就說這叫週期性邊界條件，或者反過來說，談到設週期性邊界條件，就以為是放 f(0) = f(L)。然而，真正的週期性邊界條件，事實上是 Bloch theorem 衍生出來的技巧。這個技巧讓我們能把想描述的無窮大週期性系統，濃縮到一個最小重複單位，這在技術上顯得無比 powerful。